Родился 7.09.1911 в г. Бердичев, Житомирская обл., Украинская ССР.

   После окончания 7 классов средней школы в 1926 году поступил в Украинскую военно-подготовительную школу в г.Полтава, где получил среднее образование и в 1929 году поступил в 1ую Военную Школу Авиационных Техников которую успешно закончил в 1931 году.

   После окончания 1ой В.Ш.А.Т. был направлен в 4-ую Военную Школу Авиационных Техников г.Иркутск в качестве инструктора практического обучения по эксплуатации самолётов и двигателей.

   В 1932 году был переведен в 3-ую Военно-Морское Авиационно Техническое Училище им.Молотова(ВМАТУ)  г.Пермь где в качестве старшего преподавателя встретил начало Великой Отечественной Войны.

   Во время ВОВ продолжал подготовку авиационных техников для фронта.

   С апреля 1942 по 1952 год находился в составе действующей Армии в качестве инженера по эксплуатации ВВС Северного Флота.

   С января 1943 года и до окончания войны Борис Анисимович служил старшим инженером 78ИАП 6ИАД ВВС СФ, том самом полку который был сформирован на базе 72-го смешанного авиационного полка которым командовал дважды Герой Советского Союза Б.Ф. Сафонов.

   Особо большую работу Гришина Б.А. командование отметило в период перевооружения полка самолетами “Киттихаук”, поступавших по Ленд-лизу. Под его руководством летный и технический состав полка в короткий промежуток времени изучили и освоили иностранную материальную часть самолётов. В трудных условиях зимы, в условиях Заполярной ночи собрано для своего полка 47 самолётов “Киттихаук” и для других частей 28 самолетов. По инициативе Бориса Анисимовича на 75 самолётах “Киттихаук” было переоборудовано бомбовое вооружение с механического сбрасывания бомб на электрическое. Была произведена подгонка 200 отечественных подвесных бачков.

   Награжден: Орденом отечественной войны II степени, Орденом Красной Звезды, Орденом Красного Знамени, Орденом Ленина.

   С 1952 года по 1961 год работал в Пермском Военно-Морском Авиационно Техническом Училище им. Молотова в должности начальника цикла по эксплуатации самолётов и двигателей.

   37 лет в общей сложности прослужил Борис Анисимович в рядах Советской Армии. Прошел нелегкий трудовой путь от курсанта до начальника цикла. Воспитал сотни высококвалифицированных специалистов авиаторов. Вырастил троих сыновей, двое из которых пошли по стопам отца и посвятили свою жизнь Армии. На заслуженный отдых вышел в звании полковника.